１９９７／０９／０８
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問３ 浮動小数点表示に関する次の記述中の（ ）に入れるべき適当な字句を解答群の中から選べ。
現在、多くの計算機で採用されている単精度の浮動小数点表示は、次のような形になっている。
(1) 実数ｘを次のように表す。
ｘ＝ａ×１６n ただし、１６-1 ≦ | ａ | ＜ １．０
(2) このａとｎを用いて、ｘを符号（ｓ）、指数部（ｅ）、仮数部（ｍ）を計３２ビットで表す。
ｓ：ｘ≧０のとき０、ｘ＜０のとき１
ｅ：ｎ＋６４の値を示す７ビットの正整数
ｍ：ａの絶対値。仮数部の左端の△印が小数点の位置を表す。
ただし、ｘ＝０のときは、３２ビットすべてを０とする。
例えば、１００という数は
１００＝６×１６1＋４×１６0＝１６2×（６×１６-1＋４×１６-2）
となって
| 0 | 1000010 | 011001000000000000000000 |
と表現される。
今、π＝３．１４１５９２６５３５・・・・・という数を考える。
これを１６進数で表すと、
π＝３×１６0＋２×１６-1＋４×１６-2＋３×１６-3＋１５×１６-4＋６×１６-5＋１０×１６-6＋８×１６-7・・・・・・
となるので、πの浮動小数点表示は（ ａ ）のようになる。また、π／４ を浮動小数点表示すると（ ｂ ）のようになる。ただし、丸め（四捨五入）は考えないものとする。
更に、変数Ａにπ／４ という値が入っているとき、Ｂ＝Ａ×４．０という命令を実行して変数Ｂにπの近似値を格納した後に、この格納された値を使ってＣ＝Ｂ÷４．０という命令を実行するとＣの値は浮動小数点表示で（ ｃ ）のようになる。
解答群
ア
| 0 | 0111111 | 0011 | 0010 | 0100 | 0011 | 1111 | 0110 |
イ
| 0 | 1000000 | 0011 | 0010 | 0100 | 0011 | 1111 | 0110 |
ウ
| 0 | 1000001 | 0011 | 0010 | 0100 | 0011 | 1111 | 0110 |
エ
| 0 | 1000000 | 1100 | 1001 | 0000 | 1111 | 1101 | 1000 |
オ
| 0 | 1000000 | 1100 | 1001 | 0000 | 1111 | 1101 | 1010 |
カ
| 0 | 1000001 | 1100 | 1001 | 0000 | 1111 | 1101 | 1010 |
１００を基数が１６の浮動小数点で表現した場合、
(0 1000010 0110 0100 0000 0000 0000 0000)2
になるのは分かりました？。
これを詳しく解説します。
まず、１００を１６進数に変換します。これは解説するまでもなく（６４）16ですね。つまり、
１００＝（６４）16×１６0
です。
次にこれを正規化します。正規化とは、仮数ａを
１６-1 ≦ | ａ | ＜ １．０
の範囲にすることを言います。仮数の（６４）16は当然ながら正規化されていません（１００だから）ので、正規化する必要があります。
ここで、次のことが重要です。
その１：シフトの意味
ｎ進数を左に１桁シフトすることは、ｎを乗ずることと同じ。同じように、ｎ進数を右に１桁シフトすることは、ｎで除すことと同じ。
その２：正規化された数の条件
仮数が１未満でかつ、小数点以下１桁目が０以外ならば正規化されている
仮数の（６４）16を正規化された数の条件を満足するまで右シフトします。すると、
１００＝（６４）16×１６0＝（０．６４）16×１６2
となります。仮数部を１６2で除しましたので（２桁右シフトしましたので）、その代わりに１６2を乗じていることに注意してください。
後は、符号（ｓ）、指数部（ｅ）、仮数部（ｍ）にそれぞれ２進数で当てはめればＯＫです。
符号は正の数なので、(0)2
指数部は２なので、(0000010)2、ただしバイアス６４だから(1000010)2
仮数部は（０．６４）16なので、小数点以下は(0110 0100)2
これを連結すれば、(0 1000010 0110 0100 0000 0000 0000 0000)2となります。なお、仮数部の後方の余った分については、すべて０を詰めなければなりません。
ａについて
１６進数で考えた方が簡単かもしれません。
π＝３×１６0＋２×１６-1＋４×１６-2＋３×１６-3＋１５×１６-4＋６×１６-5＋１０×１６-6＋８×１６-7・・・・
＝（３．２４３Ｆ６Ａ８・・・）16×１６0
＝（０．３２４３Ｆ６Ａ８・・）16×１６1
符号は正の数なので、(0)2
指数部は１なので、(0000001)2、ただしバイアス６４だから(1000001)2
仮数部は（０．３２４３Ｆ６Ａ８）16なので、小数点以下は
(0011 0010 0100 0011 1111 0110 1010 1000)2
ただし、仮数部は２４ビットなので、後方を切り捨てて、
(0011 0010 0100 0011 1111 0110)2
これを連結すれば、(0 1000001 0011 0010 0100 0011 1111 0110)2となります。
ｂについて
２進数を４で除すことは、この値を２桁右シフトすることと同じです。
そこで、πの仮数である(0011 0010 0100 0011 1111 0110 1010 1000)2を２桁右シフトします。
(0011 0010 0100 0011 1111 0110 1010 1000)2 元のπの仮数
(0000 1100 1001 0000 1111 1101 1010 1010 00)2 ２桁右シフト
これを１６進数に変換します。
(0000 1100 1001 0000 1111 1101 1010 1010 00)2＝（０Ｃ９０ＦＤＡＡ？）16
つまり、
π／４＝（０．０Ｃ９０ＦＤＡＡ？）16×１６1
です。
この値の仮数部の少数点以下１桁目が０で正規化されていませんので、これを正規化します。
π／４＝（０．０Ｃ９０ＦＤＡＡ？）16×１６1
＝（０．Ｃ９０ＦＤＡＡ？）16×１６0
符号は正の数なので、(0)2
指数部は０なので、(0000000)2、ただしバイアス６４だから(1000000)2
仮数部は（０．Ｃ９０ＦＤＡＡ？）16なので、小数点以下は
(1100 1001 0000 1111 1101 1010 1010 00??)2
ただし、仮数部は２４ビットなので、後方を切り捨てて、
(1100 1001 0000 1111 1101 1010)2
これを連結すれば、(0 1000000 1100 1001 0000 1111 1101 1010)2となります。
（２進数を４桁左シフトすることは１６を乗ずることと同じ、ということに気付けば、ここで行ったように、わざわざ１６進数に変換してから再度２進数に変換する必要はありません）
ｃについて
変数Ａ：(0 1000000 1100 1001 0000 1111 1101 1010)2
変数Ｂ：(0 1000001 0011 0010 0100 0011 1111 0110)2 (10)2失う
変数Ｃ：(0 1000000 1100 1001 0000 1111 1101 1000)2
変数Ｂを計算する際、仮数部の２４ビットで表現できない部分の２ビット（変数Ａの最後尾の１０の部分）が失われます。
したがって、これを４で除して変数Ｃに代入した値は、変数Ａの最後尾の２ビットをともに０とした値です。
それにしても浮動小数点表示に関する問題は面倒ですね。