１９９７／０８／１７
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問５ システムの信頼性設計に関する記述を読んで、設問中の（ ）に入れるべき適切な数値を、解答群の中から選べ。解答は重複して選んでもよい。
装置Ａは、平均450時間の連続動作が可能であり、故障が発生すると修理に平均50時間かかる。一方、装置Ｂは、平均570時間の連続動作が可能であり、故障が発生すると修理に平均30時間かかる。
これらの装置を複数用いて、待機予備方式（図１）と装置予備方式（図２）のシステムを構築する場合の信頼性について検討したい。図１では、系の一方が不稼動状態になると他方に切り替えて稼動し、図２では、系内の一方の装置が不稼動状態になると他方に切り替えて稼動する。スイッチの信頼度は１とし、切替え時間は無視する。
稼働率は、小数点以下３けた目を四捨五入して計算する。
設問(1) 各装置の稼働率を求めると、装置Ａは（ ａ ）、装置Ｂは（ ｂ ）となることから、図１における系１及び系２の稼働率は（ ｃ ）となる。
設問(2) 一方、図２における系Ｘの稼働率は（ ｄ ）、系Ｙの稼働率は（ ｅ ）となる。
設問(3) したがって、図１全体の稼働率は（ ｆ ）となり、図２全体の稼働率は（ ｇ ）となる。
解答群
| ア 0.83 | イ 0.85 | ウ 0.86 | エ 0.90 | オ 0.92 |
| カ 0.95 | キ 0.97 | ク 0.98 | ケ 0.99 | コ 1.00 |
第５回の講座に引き続き、システムの信頼性に関する計算問題です。
ＭＴＢＦとＭＴＴＲから単体の稼働率を求める方法については第５回の講座で説明しました。ここでは、直列系システム、並列系システム、および、それらが組み合わされたシステムにおける稼働率の計算方法を学びます。
直列系システム
図１の系１や系２のように、各装置が直列に接続されているシステム（第５回講座の問題も直列系システムでした）。
直列系システムの稼働率は、系内のすべての装置が動作する確率と等しい。
並列系システム
図２の系Ｘや系Ｙのように、各装置が並列に接続されているシステム。
並列系システムの稼働率は、少なくとも系内のいずれかの装置が動作する確率（１−系内のすべての装置が動作しない確率）と等しい。
ａ，ｂについて
この設問を間違えた方は、再度、第５回講座の解説をご覧になってください。
装置Ａの稼働率＝４５０／（４５０＋５０）＝０．９
装置Ｂの稼働率＝５７０／（５７０＋３０）＝０．９５
ｃについて
直列系システムの稼働率は系内のすべての装置が動作する確率ですので、系内の各装置の稼働率をすべてかけることによって求めます。
この設問の場合、装置Ａが動作し、かつ、装置Ｂが動作する時のみ、系１（系２）が動作しますよね。
系１（系２）の稼働率＝装置Ａの稼働率＊装置Ｂの稼働率
＝０．９＊０．９５＝０．８５５
ｄについて
装置Ａが動作する確率（装置Ａの稼働率）は０．９です。したがって、装置Ａが動作しない確率は０．１（１−０．９）です。
ここから、系Ｘ内のどちらの装置Ａともに動作しない確率は０．０１（０．１＊０．１）と分かります（系Ｘ内の一方の装置Ａが動作せず、かつ、もう一方の装置Ａが動作しない時のみ、系Ｘが動作しません）。
並列系システムの稼働率は”１−系内のすべての装置が動作しない確率”ですので、系Ｘの稼働率は０．９９（１−０．０１）となります。
ちょっとややこしいので、以下の式で整理しましょう。
系Ｘの稼働率＝少なくともどちらかの装置Ａが動作する確率
＝１−どちらの装置Ａともに動作しない確率
＝１−（１−装置Ａが動作する確率）2
＝１−（１−０．９）2
＝０．９９
注意：本問題は並列系内の各装置のうち、一つの装置が動作すれば系が動作する場合の稼働率の求め方です。もし系内の複数の装置が動作するときのみ系が動作する（たとえば三つの装置の内、二つの装置が動作すれば系が動作する）場合は、別解に示す方法によって稼働率を求めなければなりません。
ｄの別解
系Ｘが動作するすべてのケースを挙げ、個々のケースが発生する確率をすべて加算します。
系Ｘが動作するケース
ケース１：（上の）装置Ａが動作し（下の）装置Ａが動作する確率＝０．９2
ケース２：（上の）装置Ａが動作し（下の）装置Ａが動作しない確率＝０．９＊０．１
ケース３：（上の）装置Ａが動作せず（下の）装置Ａが動作する確率＝０．１＊０．９
これをすべて加算します。
系Ｘの稼働率＝ケース１の確率＋ケース２の確率＋ケース３の確率
＝０．９2＋０．９＊０．１＋０．１＊０．９
＝０．９９
ｅについて
系Ｙの稼働率＝少なくともどちらかの装置Ｂが動作する確率
＝１−どちらの装置Ｂともに動作しない確率
＝１−（１−装置Ｂが動作する確率）2
＝１−（１−０．９５）2
＝０．９９７５
ｆについて
系１と系２をそれぞれ一つの装置として考えます。すると単純な並列系のシステムになりますよね。
図１全体の稼働率＝少なくともどちらかの系が動作する確率
＝１−どちらの系ともに動作しない確率
＝１−（１−系１が動作する確率）＊（１−系２が動作する確率）
＝１−（１−０．８５５）2
＝０．９７８９....
ｇについて
同じように、系Ｘと系Ｙをそれぞれ一つの装置として考えます。するとこれは、単純な直列系のシステムになります。
図２全体の稼働率＝系Ｘの稼働率＊系Ｙの稼働率
＝０．９９＊０．９９７５
＝０．９８７５....
直列系システムや並列系システム（またはそれを組み合わせたシステム）の稼働率を求める問題を解く場合、へたに公式なんて暗記しない方が良いかもしれません。絶対に覚えておかなければならないことは、稼働率は確率の一種である、ということだけです。