正規分布

*

　具体的な問題を見ながら説明をする。

【問題】基本情報技術者午前平成１３年春問０９

　あるエ場で大量に生産されている製品の重量の分布は，平均が 5.2 kg ，標準
偏差が 0.1 kg の正規分布であった。5.0 kg 未満の製品は，社内検査で不合格
とされる。生産された製品の不合格品の割合は約何％か。

標準正規分布表
┌──┬────┐
│　u │　　P 　│
├──┼────┤
│ 0.0│　0.500 │
├──┼────┤
│ 0.5│　0.309 │
├──┼────┤
│ 1.0│　0.159 │
├──┼────┤
│ 1.5│　0.067 │
├──┼────┤
│ 2.0│　0.023 │
├──┼────┤
│ 2.5│　0.006 │
├──┼────┤
│ 3.0│　0.001 │
└──┴────┘


　　　　　　　　　│
　　　　　　　　 .│.
　　　　　　　　: │ :
　　　　　　　 :　│　:
　　　　　　　: 　│　 :
　　　　　　 :　　│　　:
　　　　　　: 　　│　　 :
　　　　　.'　　　│　　　│*
　　　　.'　　　　│　　　│**
　　　.'　　　　　│　　　│**** ← P
　..''　　　　　　│　　　│*******
─────────┴───┴──────
　　　　　　　　　0
（注：* で表されている部分を P とする）

　ア　0.1

　イ　0.6

　ウ　2.3

　エ　4.6

正しいグラフの画像
http://www.rs.kagu.sut.ac.jp/~infoserv/j-siken/H13a2/am-09a.gif
＠東京理科大学情報処理技術者試験研究会サイト
http://www.rs.kagu.sut.ac.jp/~infoserv/j-siken/index.html

注意：桁がずれて表示されているときは以下のサイトを参考にして下さい。
KAZ池田氏提供  http://www.mag2.com/faq/mua.htm

【解説】

　このような図を正規分布の図といい，工場の製品の重さ，クラスの生徒のテス
トの成績など，測定すると，このような図になるものが多い。

　正規分布になった場合，全体の個数のそれぞれの数値の割合が，標準偏差を１，
平均を０としたとき，次のような規則が成り立つ。この問題の例を横に書くと

┌──┬────┐
│　u │　　P 　│
├──┼────┤
│ 0.0│　0.500 │平均(5.2kg)より大きいものは，全体の半分
├──┼────┤
│ 0.5│　0.309 │平均(5.2kg)+標準偏差(0.1kg) より大きい物は，全体の0.309
├──┼────┤
│ 1.0│　0.159 │
├──┼────┤
│ 1.5│　0.067 │
├──┼────┤
│ 2.0│　0.023 │(5.2kg)+(0.1kg)*2 = 5.4 kg より大は，全体の0.023
├──┼────┤
│ 2.5│　0.006 │
├──┼────┤
│ 3.0│　0.001 │(5.2kg)+(0.1kg)*3 = 5.5 kg より大は，全体の0.001
└──┴────┘

　ということである。
　上の一番下の例でいうち，5.5 kg より重たい製品は，1000 個の中の 1 つだけ
ということである。
　正規分布は左右対称なので，5.2 - 0.1*3 = 4.9 kg よりも軽いものも，1000
個中１つということになる。

　上の表の P の数字は，全体を１として見たときの割合であり，これは，上の
図のグラフでいうと，釣り鐘状の図の面積を１としたときの割合になる。また，
全体が１ということなので，ある製品がこのところに入る確率に対応する。つま
り，平均より大きい確率は，0.5，平均＋標準偏差より大きい確率は，0.159，
平均+標準偏差*3 より大きい(または小さい)確率は，0.001 ということである。

　この問題を解くことにしよう。5.0 kg 未満は，平均-標準偏差*2 未満という
ことなので，割合は，0.023 である。% でいうと，2.3 % となる。

〔解答〕　ウ

　(それぞれの測定した値 - 平均)^2 ，これを足して，個数で割ると，"分散"
である。この分散の平方根が，標準偏差である。
　平均以下，平均未満など，イコールを含むか含まないかは，測定の値が，十分
に細かい単位まで測定すると言うことで，等しいものは，無視できる位の個数で
ある。以下，未満とかの言い回しは無視してよい。

【問題】初級システムアドミニストレータ午前平成１４年春問７４

　A 高校，B 高校の生徒各 200 名を対象に，ある試験の得点の統計をとったと
ころ，表のような正規分布で近似できることが分かった。この結果の分析に関す
る記述のうち，適切なものはどれか。

------------------------------
　　　　　　A 高校　　B 高校
------------------------------
平均　　　　　60　　　　60
標準偏差　　　 5　　　　10
------------------------------

　ア　50 点から 70 点までの得点者は，A 高校，B 高校とも同数である。

　イ　55 点から 65 点までの得点者は，A 高校の方が多い。

　ウ　65 点以上の得点者は，B 高校より A 高校の方が多い。

　エ　B 高校では，70 点以上の得点者はいない。

【解説】

　標準偏差とは，分散の平方根で，分散とは，(それぞれの値-平均)^2 の平均
である。標準偏差が小さいほど，平均付近にたくさんの人がおくろことにある。

　A 高校の方が，平均に密集し，B 高校の方が，上下に点数がばらついている
ということである。

ア： 50 点から 70 点には，A 高校の方が多い
イ： 正しい
ウ： B 高校の方が，バラバラなので，上位者は，A 高校より多い。
エ： 実際の値ではいない可能性もあるが，もし，正規分布であれば，最初の問題
の表からみると，0.159 であるので，全校が，200名なら，30名以上が70点以上で
あろう。

〔解答〕　イ

　ある工場で製造している部品の長さの誤差は，平均 0 mm，標準偏差 0.5 mm の
正規分布に従っている。誤差の許容範囲が ±1 mm の時，不良品の発生率は何％
になるか。標準正規分布表を用いて最も近い値を選べ。

　　　確率変数　｜分布関数値　｜　確率密度関数値
　　　0.00　　　｜　0.5000　　｜　　0.3938
　　　0.50　　　｜　0.6915　　｜　　0.3521
　　　1.00　　　｜　0.8413　　｜　　0.2420
　　　1.50　　　｜　0.9332　　｜　　0.1296
　　　2.00　　　｜　0.9773　　｜　　0.0540
　　　2.50　　　｜　0.9938　　｜　　0.0175
　　　3.00　　　｜　0.9987　　｜　　0.0044
　　　3.50　　　｜　0.9998　　｜　　0.0009


　ア　2.3

　イ　4.5

　ウ　5.4

　エ　15.9

■キーワード■　標準正規分布

■解答■
　　基本情報技術者午前平成１６年秋問０７

　イ　4.5

　平均 M，分散 V の正規分布に従う母集団から，10 個の個体をサンプルとして
取り出し，これらの平均値を求める。この操作を繰り返したときのサンプルの平
均値は，平均 M'，分散 V' の正規分布に従うことが知られている。このとき，
M，V，M'，V'の関係を正しく表す式の組合せはどれか。

　ア　M＜M' ，V＜V'

　イ　M＝M' ，V＜V'

　ウ　M＝M' ，V＞V'

　エ　M＞M' ，V＞V'

■キーワード■　正規分布に従う母集団の平均と分散

■解答■
　　ソフトウェア開発技術者午前平成１５年問０４

　ウ　M＝M' ，V＞V'

 
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