待ち行列

末広ページへ　このコーナーの目次へ

待ち行列の基本公式の解説

待ち行列とは

　コンビニエンスストアーのレジに並ぶとき，すでに、そこに何人並んでいるかを考えることです。これは、通信回線を通じて、コンピュータに仕事を指示する、また、電話の話し中をいかに減らすかなど、ネットワーク関係の基礎的な理論になります。

待ち行列を考えるときの基本的な名称と記号

基本公式の解説

待ち行列　 L = ρ/(1-ρ)

　待ち行列の中心となる公式です。到着間隔がポアソン分布、サービス時間が指数分布、窓口が１つのとき(M/M/1)に成立する公式です。利用率 ρ=0.5 のときに、待ち行列は、１となります。利用率が 2/3 のときに、待ち行列は、２となります。レジの例では，前者が、平均１人並んでいるということ、後者が２人並んでいることになります。

　「この公式の証明は難しいので、証明を理解するより、公式を丸ごと覚えるという戦略でどうか」と、高校数学の先生に言われました。確率の世界から証明されるそうです。

　この式は、利用率／（１−利用率）ですので、言い換えると利用時間／非利用時間となります。この比率にどんな意味があるかといことで、私は、「発揮指数」という名称を付けました。

待ち時間　t_w = L× t_s

　レジの例で言えば、レジに自分が並んだとき利用率が2/3のレジであれば，２人並んでいます。待ち時間とは、自分が並んでから、自分の番になるまでを指します。よって、並んでいる人の処理時間分になります。

応答時間　t_q = t_w＋ t_s

　レジの例で言えば、レジに自分が並んで、自分の番になり（t_w）自分の処理が終わる(t_s)までの時間です。

窓口利用率　ρ= λ/μ = t_s /t_a

　可能な時間分の利用している時間の意味です。この公式は赤の方がお奨めです。t_s /t_a の時間の割合より、 λ/μ の物の割合の方が直感的と思います。

こぼれ話

ギリシャ文字の記号

　待ち行列の記号のうち，λ、ρ、μ は、ギリシャ文字です。意味は、到着率、利用率、サービス量です。英字の単位は、比較的直感的数字ですが、このギリシャ文字系は、率とか、時間当たりの数字になります。複雑な数字はギリシャ文字ということでしょうか？

　それぞれ、なぜ、λ、ρ、μ なのか、疑問ですね。（調査します）

発揮指数

　Ｌ＝ρ／（１−ρ）の式は、レジで考えると、分母の １−ρ は、利用していない時間を表し、ρ は、利用している時間を表します。そうすると、この式は、ガソリンタンクで考えると、分母は、まだ入るガソリン量、分子は、すでに入っているガソリンの量になります。この値を発揮指数と名付けました。

　いくつかの実際の例で考えると，「発揮指数」は，以下の通りです。

末広ページへ　このコーナーの目次へ